В отличие от алгебраических, дифференциальные уравнения масс не дают ответ на вопрос, какими должны быть элементы проектируемого судна согласно требованиям задания на проектирование. С помощью дифференциальных уравнений определяют, каким образом необходимо изменить элементы прототипа, чтобы выполнить требования, предъявляемые к проекту. Обычно, предполагают, что изменение независимых переменных и элементов судна – это достаточно малые величины, так как в противном случае замена конечных приращений дифференциалами будет приводить к большой погрешности.
Допустим, что какой-либо из разделов нагрузки выражается формулой
Р = рХn,
где Х – какой-то элемент судна, причем для прототипа Р = Р0, Х = Х0. Масса этого же раздела проектируемого судна составит Р = рХn = Р0 + dP, где dP – приращение массы этого раздела. Для нахождения dP продифференцируем исходную формулу.
dР = (рХn)' dX = nрХn - 1 dX = n
dX.
C другой стороны для проектируемого судна масса раздела составит
Р = р(Х0 + dХ)n.
Разложим это выражение в ряд Маклорена, сохранив первые три члена ряда
.
Тогда
.
Два выражения, полученные для dP, отличаются на величину
,
которая характеризует абсолютную погрешность метода. Относительная погрешность ε/Р0 будет зависеть от соотношения dХ/Х и степени n и при различных значениях этих показателей будет иметь следующие значения.
При использовании дифференциальных уравнений считается, что погрешность не выходит из допустимых пределов, если изменения параметров проекта, по отношению к прототипу, не превосходит следующих значений: скорость хода – 4 - 5 %, главные размерения – 7 - 10 %, водоизмещение до 20 %.
|
dХ/Х |
Относительная погрешность ε/Р0, % | ||||
|
n = 3,0 |
n = 2,0 |
n = 1,0 |
n = 2/3 |
n = 0,5 | |
|
0,05 0,10 0,20 |
0,75 3,0 12,0 |
0,25 1,0 4,0 |
0 0 0 |
0,03 0,11 0,45 |
0,03 0,12 0,50 |
Обобщенное дифференциальное уравнение масс
Алгебраическое уравнение масс перепишем в виде
Р = D – ΣРi(δ, L, B, H, T, υs, r, a, b,…) = D – F,
где, как и прежде ΣРi = F – массы зависимые от размерений, коэффициентов полноты, скорости, дальности плавания и прочих независимых переменных, Р – независимые массы. Дифференцируя это уравнение, получим
dР = dD – dF,
и раскроем dD и dF как полные дифференциалы по всем независимым переменным, т.е. по δ, L, B, H, T, υs, r, a, b, c….
выражение для dD будет выглядеть следующим образом:
.
Найдем частные производные.
.
Подобным же образом можно вывести, что 
, 
, 
. Тогда
.
Аналогично можно написать, что
Введем обозначение
,
то есть полный дифференциал функции F по всем переменным, исключая главные размерения и коэффициент полноты.
Окончательный вид уравнения масс в этом случае примет вид
.
Величины, стоящие в левой части уравнения, должны, очевидно, рассматриваться как заданные. Соответственно заранее необходимо определить полный дифференциал функции F по независимым переменным. Так же определяются и искомые частные производные по главным размерениям и коэффициенту полноты. Отношение водоизмещения к главным размерениям и коэффициенту полноты принимается по прототипу.
Для вычисления частных производных функции F надо найти частные производные каждого из разделов входящих в F по каждой из переменных δ, L, B, H, T. Например, пусть какой-нибудь из разделов выражается зависимостью